MENTAL vs. Teoría de Modelos

MENTAL vs. TEORÍA DE
MODELOS

“La teoría de modelos es la teoría de las interpretaciones de los lenguajes formales” (Geoffrey Hunter)

“Los arquetipos son metáforas que nos impulsan y nos sirven de modelo” (Carlos Alberto Churba)

“Nunca podrás cambiar las cosas luchando contra la realidad existente. Para cambiar algo, crea un nuevo modelo que vuelva obsoleto al modelo actual” (Buckminster Fuller)

Teoría de Modelos
Definición

La teoría de modelos es la teoría de las interpretaciones de los sistemas formales y cómo estos sistemas se relacionan entre sí. También se ocupa de ver cómo varían las interpretaciones cuando variamos un sistema formal.

La teoría de modelos trata de conectar lo formal (lo sintáctico) con sus posibles interpretaciones (lo semántico) a través de la noción de verdad. La teoría de modelos es considerada como la versión moderna de la semántica.

En teoría de modelos, la definición de significado es: 1) el significado de un término es el referente de cada dominio, situación o mundo posible; 2) el significado de una sentencia es un valor de verdad en cada dominio, situación o mundo posible.

Un sistema formal S es un conjunto de sentencias definidas mediante un lenguaje formal L. Consta de unas sentencias iniciales (axiomas) y unas reglas para deducir nuevas sentencias (teoremas).
Un lenguaje formal L se define mediante: 1) un conjunto de símbolos (el alfabeto del lenguaje); 2) un conjunto de reglas de formación de secuencias de símbolos que constituyen las fórmulas bien formadas (fbf´s). Un lenguaje formal se puede identificar con el conjunto de sus fbf’s.

En teoría de modelos normalmente se utiliza como lenguaje formal el cálculo de predicados de primer orden (con un número finito de predicados) y con un predicado adicional que es la relación de igualdad o identidad (x = y). Este lenguaje formal se denomina “lenguaje de primer orden” y un sistema formal construido con este lenguaje se denomina “sistema de primer orden”.

Los lenguajes de primer orden son lenguajes formales que tratan de los objetos de un dominio que tienen una determinada estructura (basada en propiedades y en relaciones lógicas entre los objetos). Cada lenguaje de primer orden determina la clase de estructuras que se ajustan a ese lenguaje.

Un lenguaje formal se puede definir completamente sin hacer referencia a ninguna interpretación.
Un lenguaje L se puede considerar también un sistema formal, donde los axiomas son las reglas de la gramática y los teoremas son las posibles sentencias de L. Un sistema formal también puede considerarse un lenguaje en sí mismo.
Una interpretación de un sistema formal S es una asignación de significados a sus símbolos y fórmulas. Ejemplos:
- El conjunto de los números naturales es un modelo para los axiomas de Peano.
- El conjunto de los números naturales es un modelo de la teoría de grupos bajo la operación de suma.
- El conjunto de los números reales (excepto el cero) es un modelo de la teoría de grupos bajo la operación de producto.

Al utilizar como lenguaje formal la lógica de predicados de primer orden, la teoría de modelos se considera una rama de la lógica matemática. Pero la teoría de modelos se sitúa mejor como un área interdisciplinaria entre matemática, filosofía e informática.

Características

La teoría de modelos es metafísica y ontológicamente neutral y abierta respecto a las posibles interpretaciones de los sistemas formales. “La teoría de modelos es completamente agnóstica sobre que clase de cosas existen” [Hodges, 1997].
Cuanto más genérico o simple es un sistema formal, más interpretaciones tiene. La teoría de grupos es quizás la estructura formal más representativa o más importante, ya que tiene modelos en numerosos campos de la matemática.
Se suele hablar de interpretaciones estándar y “no estándar”, según que la interpretación sea la más habitual (o conocida) o no, respectivamente. Pero estos dos conceptos no forman parte realmente de la teoría de modelos. Por ejemplo, el modelo estándar de la axiomática de Peano son los números naturales.
Se denomina “protosemántica” a los símbolos del lenguaje formal que tienen una interpretación fija. Por ejemplo, los conectores lógicos del lenguaje de predicados de primer orden. En este caso, no todo componente de un sistema formal es interpretable.
Una interpretación de una sentencia de un sistema formal puede ser verdadera o falsa, dependiendo del dominio. Por ejemplo:
- La sentencia ∃x | x*x = 2 es falsa en el dominio de los números racionales y verdadera en el dominio de los números reales.
- La sentencia ∃x | x*x = −1 es falsa en el dominio de los números reales y verdadera en el dominio de los números complejos.
Por lo tanto, en teoría de modelos, la verdad es relativa. Es su principio más fundamental.
Las sentencias de un sistema formal pueden ser: universalmente válidas (verdaderas en todos los dominios), contradictorias (falsas en todos los dominios) y contingentes (no son ni universalmente válidas ni contradictorias).
Un sistema formal en el que todos los modelos son isomórficos se denomina “categorial”, es decir, el sistema formal representa a un conjunto de modelos isomórficos.
La teoría de modelos también estudia las estructuras matemáticas (grupos, anillos, cuerpos, etc.) proporcionando significados a las sentencias de primer orden que formalizan estas estructuras. En este sentido, la teoría de modelos está estrechamente relacionada con el álgebra universal. La teoría de modelos generaliza el algebra universal porque permite relaciones, mientras que el algebra universal solo permite funciones. Según Chang & Keisler [2012], la teoría de modelos es una extensión del álgebra universal:
El álgebra universal proporciona una semántica a las estructuras. La lógica matemática proporciona la sintaxis.
La teoría de modelos se subdivide en varias ramas como: teoría de modelos finitos, infinitos, clásica, abstracta, categorial, geométrica, computacional, etc. La teoría de modelos finitos está estrechamente relacionada con el álgebra universal y con la teoría de la computabilidad (en especial, la teoría de la complejidad).
Una teoría es un sistema formal que es semánticamente completo en el sentido de que todo modelo que satisface las sentencias de la teoría también satisface cualquier otra sentencia que sea consecuencia de dicho sistema formal.
- Una teoría de primer orden es la que utiliza un lenguaje de predicados de primer orden.
- Un modelo de una teoría es una estructura donde las sentencias formales de la teoría son interpretables y donde las sentencias pueden considerarse como afirmaciones sobre el modelo.
- Los objetos de estudio de la teoría de modelos son modelos de teorías en un lenguaje formal.
- Una teoría es consistente si no conduce a contradicciones, es decir, si para todo par de fórmulas (Φ, ¬Φ) del lenguaje formal solo una de ellas pertenece a la teoría.
- Una teoría es completa si para todo par de fórmulas (Φ, ¬Φ) del lenguaje formal, al menos una de ellas pertenece a la teoría. Es decir, una teoría completa es la que contiene toda sentencia o su negación.
- Si todos los modelos de una teoría T son isomorfos, entonces la teoría T es completa.
- Si una teoría completa T tiene un modelo finito, entonces todos sus modelos son isomorfos.
- Una teoría es categórica si todos sus modelos son isomorfos.
- Un teorema de una teoría es una formulación demostrable. La noción de verdad no es equivalente a la noción de demostrabilidad en las teorías axiomáticas de primer orden por el teorema de incompletud de Gödel.

Teorema de Löwenheim-Skolem (TLS)

Es un teorema metalógico de la lógica de predicados de primer orden, como el teorema de incompletud de Gödel. En su primera versión, debida a Löwenheim, en 1915, afirma:

Si existe un modelo infinito para un sistema formal, entonces existe un modelo numerable para este sistema formal.

La versión generalizada para los números transfinitos, debida a Skolem, en 1920, afirma:

Si L es un lenguaje de primer orden y tiene un modelo de cardinalidad transfinita k, entonces tiene al menos un modelo de cardinalidad ≤ k (TLS descendente) y otro de cardinalidad ≥ k (TLS ascendente).

Teorema de completud de Gödel (1929)

Este teorema es fundamental en lógica matemática y tiene una estrecha conexión con la teoría de modelos, pues establece una correspondencia entre verdad (semántica) y demostrabilidad (sintaxis) en la lógica de primer orden:

Existen sistemas de primer orden en los que todas las fórmulas lógicamente válidas son demostrables. El cálculo de primer orden es lo suficientemente potente para deducir todas las fórmulas válidas.

El teorema de Henkin (1944) es también un teorema de completud de primer orden. Es una versión más simple que el teorema de completud de Gödel:

Una teoría de primer orden es consistente si y solo si tiene un modelo.

Para probar que una teoría de primer orden es consistente, basta con probar que tiene un modelo. En matemática, todas las teorías son consistentes.

La consistencia es una noción sintáctica. La noción de modelo es semántica.

La paradoja de Skolem

La llamada “paradoja de Skolem” [1922] es una aparente paradoja del TLS:

Una axiomatización de la teoría de conjuntos en la lógica de primer orden que sea consistente tiene un modelo numerable.

La paradoja consiste en que la teoría de conjuntos no hace referencia a conjuntos numerables y, sin embargo, tiene un modelo numerable. Por lo tanto, la teoría axiomática de conjuntos tiene un gran número de interpretaciones posibles, incluidas interpretaciones no isomórficas.

Cantor descubrió en 1874 la existencia de conjuntos no numerables, como la potencia de los números naturales y el conjunto de los números reales. Zermelo lo demostró en 1908 con sus axiomas de la teoría de conjuntos. Pero se suponía que los axiomas de la teoría de conjuntos tenían un solo modelo: todos los conjuntos, finitos o infinitos.

Skolem describió su descubrimiento como “un estado de cosas paradójica”, aunque no la consideraba realmente una antinomia como la paradoja de Russell. El propio Skolem [1922] explicó que no existía tal contradicción: en el contexto de un modelo específico de la teoría de conjuntos, el término “conjunto” se refiere a un concepto del modelo y no al concepto clásico de la teoría de conjuntos.

El TLS fue el primer gran resultado de la teoría de modelos. Pero fue Skolem quien analizó profundamente su impacto en la filosofía de la matemática y de la metamatemática. Entre estas consecuencias o conclusiones filosóficas están las siguientes:

Relativismo.
Los conceptos de la teoría de conjuntos son relativos. La relatividad reside en que un conjunto puede tener una propiedad en un modelo y no tenerla en otro. Ejemplos:
- La numerabilidad y la no numerabilidad son nociones relativas. Un conjunto puede ser numerable o no, dependiendo del modelo. Por ejemplo, la propiedad de que el conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales no es numerable en un modelo, pero existe otro modelo en que es numerable. El TLS parece conducir a una paradoja de que todos los conjuntos son numerables en algún modelo.
- Si E es una axiomatización de los números reales R, sabemos que de E se puede inferir que hay más números reales que números naturales, es decir, que la cardinalidad de los números reales es mayor que la cardinalidad de los números naturales.
  
  Pero, según el TLS, E tiene un modelo de la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales N, es decir, un modelo infinitamente numerable. Es decir, las sentencias de E se pueden interpretar como como la descripción de un modelo que tiene el mismo número de elementos que N. Este modelo es no estándar y descendente.
Skolem veía el TLS como la imposibilidad de que la verdad absoluta pudiera ser capturada por un sistema que fundamente la matemática. El TLS generaliza la relatividad de todas las nociones matemáticas.
- “El verdadero significado del teorema de Löwenheim es precisamente esta crítica del absoluto indemostrable” [Skolem, 1941].
- “Una consecuencia de este estado de cosas [el TLS] es la imposibilidad de una categoricidad absoluta de las nociones matemáticas” [Skolem, 1958].
- “Todos los conceptos de la teoría de conjuntos, y consecuentemente de todas las matemáticas, se convierten así relativizadas. El significado de estos conceptos no es absoluto, es relativizado al mundo axiomático básico” [Skolem, 1941].
- “El relativismo es inevitable a causa de la naturaleza general del teorema de Löwenheim” [Skolem, 1941].
Fundamentación de la matemática.
Al ser relativas las nociones de la teoría de conjuntos, la teoría axiomática de conjuntos falla como fundamento de la matemática, pues sus verdades son relativas. “Es claro que la axiomatización en términos de conjuntos no era un fundamento satisfactorio de la matemática” [Skolem, 1922].
Lenguaje de primer orden.
La debilidad del lenguaje de primer orden, en el que se habían apoyado todas las teorías matemáticas para su formalización.
El concepto de modelo.
El cuestionamiento del concepto de modelo. Si se acepta el concepto de modelo, existe la posibilidad de modelos no estándar.
Cardinalidad.
La relatividad del concepto de cardinalidad, que obliga a reinvestigarlo. Las teorías de primer orden consistentes no pueden controlar la cardinalidad de sus modelos. Y no pueden tener solo modelos isomorfos. Si una teoría tiene un modelo numerable, también tiene modelos no numerables. Por ejemplo, los axiomas de Peano de la aritmética tienen que tener modelos no numerables.

A pesar de todo, Skolem seguía creyendo en el sistema axiomático, incluso consideraba el relativismo como positivo. “Una concepción relativista de las nociones fundamentales es más clara que la concepción absolutista y platonista que domina la matemática clásica” [Skolem, 1958].

Skolem experimentó una evolución en su pensamiento matemático. Inicialmente fue intuicionista “absolutista” o platonista. En esta etapa Skolem pensaba que las verdades matemáticas primarias deberían ser claras, naturales, absolutas, incuestionables y conectadas a nuestra facultad de intuición. De hecho, Skolem fue uno de los fundadores del finitismo en matemática. Skolem era escéptico sobre la existencia de conjuntos no numerables y consideró el TLS como evidencia de que su escepticismo estaba justificado. En cualquier caso, Skolem era partidario de un lenguaje formal para expresar las ideas matemáticas.

La visión de Putnam

El artículo de Hilary Putnam “Models and Reality” [1980] supuso una renovación del interés por la teoría de modelos y por la paradoja de Skolem en particular.

Putnam analizó a fondo la paradoja de Skolem, argumentando:

Los conceptos de la teoría de conjuntos son relativos. Y esta circunstancia es un problema que afecta a los lenguajes naturales y a las teorías científicas. Hay que “skolemizar” todo, es decir, relativizar todo, pues la semántica no puede fijarse nunca. Ninguna teoría puede formalizar su propia interpretación.
La semántica de la teoría de modelos falla como teoría del significado. Y la razón de que falle como teoría del significado es que falla el principio de composicionalidad: el significado de una sentencia es función del significado de sus componentes.

El problema aparece al combinar la referencia con la verdad. Si cambiamos un término de una sentencia, cambiamos la semántica de la sentencia, pero la teoría de modelos dice que se preserva la verdad (el significado de la sentencia). Esto va en contra del principio de composicionalidad.

Estas consideraciones condujeron a Putnam a rechazar el realismo metafísico (platonista) y adoptar la posición de semántico anti-realista. “El mundo no escoge modelos ni interpreta lenguajes. Nosotros interpretamos nuestros lenguajes o nada lo hace” [Putnam, 1980]. La solución de Putnam fue elegir una semántica en que uso y referencia están estrechamente unidos: tenemos la interpretación en cuanto entendemos su uso.

Teoria de instituciones

La teoría de instituciones fue introducida por Joseph Goguen y Rod Burstall en su artículo seminal [Goguen & Burstall, 1992]. Se trata de una teoría de modelos categórica universal que intenta formalizar la noción intuitiva de “sistema lógico”, sin hacer referencia a ninguna lógica particular. Las entidades lógicas que utiliza son totalmente abstractas. La tesis de la teoría de instituciones es que cada lógica particular puede ser formalizada como una institución.

El concepto de institución surgió en informática, concretamente en el área de la especificación algebraica, como respuesta a la proliferación de lógicas particulares (de primer orden, de orden superior, ecuacional, de claúsulas de Horn, infinitaria, dinámica, intuicionista, temporal, etc.). Estas lógicas se utilizan para resolver problemas como concurrencia, sobrecarga, excepciones, etc. Además, la lógica en matemática varía dependiendo del teorema a demostrar, aunque normalmente se suele utilizar la lógica de predicados de primer orden.

El concepto de institución se basa en entidades categóricas abstractas de la teoría de categorías. La teoría de instituciones se puede considerar como una síntesis entre la teoría de modelos y la teoría de categorías.

La formalización de un sistema lógico incluye sintaxis, semántica y un axioma (llamado de “satisfacción”) que los relaciona. Este axioma intenta expresar que la verdad (semántica) es invariante respecto al cambio de notación.

Informalmente, una institución consta de:

Una colección de signaturas (cada signatura define una notación) para construir sentencias en un sistema lógico.
Para cada signatura hay: a) una colección de sentencias; b) una colección de modelos; c) una relación de satisfacción de sentencias por modelos.

Cuando cambian las signaturas (mediante morfismos), la satisfacción de sentencias por los modelos cambia de forma consistente.

Las instituciones se pueden aplicar en el desarrollo de lenguajes de especificación, lenguajes de programación, teoría de bases de datos e inteligencia artificial.

MENTAL, un Modelo Universal
La teoría de modelos es una rama sofisticada de la lógica matemática. La comparamos con MENTAL en los siguientes aspectos:

Modelo universal.
MENTAL es un lenguaje formal universal y un modelo universal (o metamodelo) que se manifiesta en modelos particulares en diferentes dominios: matemática (modelo fundacional), informática (modelo computacional), psicología cognitiva (modelo de la mente), psicología profunda (modelo arquetipal), filosofía (modelo de la realidad profunda o categorías filosóficas), etc.
Protosemántica.
MENTAL es un modelo universal con protosemántica, es decir, con una semántica primaria fija. El modelo universal de MENTAL es la gramática y lenguaje universales que fundamentan todo. MENTAL es la culminación de la teoría de modelos, pues todos los modelos están conectados por la protosemántica.

En MENTAL no se asignan significados a los símbolos porque tienen una semántica fija, absoluta porque están asociados a las primitivas. Sus significados son primarios o protosemánticos. Por ejemplo, {...} es un conjunto, (...) es una secuencia, el símbolo ∈ indica pertenencia a un conjunto, etc. En cambio, en teoría de modelos se podría asignar un significado diferente, lo que conduce al relativismo.

No obstante, los símbolos de las primitivas de MENTAL se pueden modificar si se desea, incluso sustituyéndolos por nombres. Por ejemplo,

⟨( conjunto(x) =: {x} )⟩

Solo se asignan significados a los nombres utilizados, que tienen significados secundarios. Las primitivas son el continente, el “esqueleto” o estructura. Los nombres son el contenido. Todas las manifestaciones superficiales se fundamentan en la misma semántica primaria. Si solo tenemos como referencia a los sistemas formales (superficiales), todos desconectados entre sí, entonces todo es relativo. Si hay un sistema primario, entonces hay un marco absoluto de referencia.

Los nombres admiten muchas interpretaciones. La interpretación está abierta, incluida la literal. Por ejemplo, {a b c} es una expresión que representa a un conjunto formado por 3 elementos (a, b y c). Estos elementos pueden ser las propias letras (interpretación literal) o pueden representar a otras expresiones. Hay infinitos conjuntos de 3 objetos, pero todos ellos comparten la misma estructura, como:

{1 2 3} {Pepe Juan Luis} {⟨a b c⟩ 17 Juan}

La asignación de una interpretación a los nombres se puede realizar mediante un diccionario. Si se utilizan nombres del lenguaje natural, entonces la interpretación se hace evidente. Por ejemplo, Pepe/hombre (Pepe es un hombre).
Verdad y demostración.
En MENTAL la interpretación no está asociada a la verdad porque la verdad es algo que está fuera del lenguaje. Tampoco hace referencia a la demostración porque en MENTAL las inferencias son automáticas.
Modelos particulares.
Por la propia naturaleza de las primitivas, todo sistema formal creado con MENTAL es categorial, es decir, todos sus modelos son isomórficos. Los modelos particulares se pueden definir con mayor facilidad por dos razones:
1. Porque MENTAL conecta sintaxis con semántica. Todo sistema formal incorpora una semántica primaria. En este sentido, una expresión es un modelo de sí misma. Un lenguaje formal aislado, sin semántica, no tiene sentido. La semántica es inexpresable porque pertenece al mundo interno; solo la podemos conectar a través de la sintaxis como arquetipo que conecta mundo interno y mundo externo.
2. Porque MENTAL es un lenguaje más general, flexible y expresivo que la lógica de predicados de primer orden. Esto permite establecer relaciones más fácilmente entre los sistemas formales. MENTAL trasciende los lenguajes de primer orden. De hecho, es un lenguaje predicativo generalizado no ligado solo a la lógica.
Relativismo.
La teoría de modelos es la culminación del abandono de la búsqueda de una semántica primaria, original, profunda, arquetípica, absoluta y la entrega a las teorías de lo superficial y relativo. Es la culminación de un enfoque equivocado: el que va desde lo superficial (el sistema formal) a la semántica (lo profundo).

El camino debe ser el contrario: ir desde la semántica a la sintaxis, de lo genérico a lo específico, de lo profundo a lo superficial. El verdadero significado del teorema de Gödel es que es imposible ir desde lo superficial a lo profundo.

Si “todo” está sujeto a interpretación, esto conduce al relativismo, pues no hay nada sólido en lo que fundamentarse. En este sentido, la matemática no tendría fundamento alguno. Debe haber una protosemántica fija, platonista, absoluta y universal como la que proporciona MENTAL. La teoría de modelos es la teoría de la relatividad de los sistemas formales.

La teoría de modelos, y el TLS en particular, ha causado mucha confusión sobre la naturaleza de la semántica, sobre la verdad y sobre el fundamento de la matemática. El camino correcto es fundamentar todo sobre los arquetipos de la conciencia.
Expresiones genéricas y particulares posibles.
Los nombres que aparecen en una expresión genérica como parámetros no admiten más que una interpretación, pues los nombres son irrelevantes al representar expresiones cualesquiera. Por ejemplo, las dos expresiones siguientes son equivalentes:

⟨( f(x y) = (x+y x*y) )⟩ ⟨( f(u v) = (u+v u*v) )⟩

Toda expresión particular de MENTAL es una manifestación de una categoría de expresiones. Por ejemplo, la expresión {a b c} es una manifestación de la categoría “conjunto de 3 elementos”, categoría que se expresa mediante la expresión genérica ⟨{x y z}⟩. Y a+b es la manifestación de la categoría “suma de 2 elementos”, cuya categoría es ⟨x+y⟩.
Verdad y semántica.
En teoría de modelos, la verdad es un concepto semántico y es relativa al dominio interpretativo. Pero la semántica tiene poco que ver con la verdad. La semántica tiene que ver con el mundo interno (mental), el mundo de todas las posibilidades y donde el concepto de verdad no tiene sentido.

Pero el problema de la verdad matemática es consecuencia del lenguaje utilizado para expresar la verdad matemática, no de la matemática en sí. Todos los problemas, paradojas, oscuridades de la matemática provienen del lenguaje utilizado. Con un lenguaje universal, con un lenguaje de la conciencia, con un lenguaje profundo, los problemas desaparecen, se aclaran o se simplifican. Los problemas solo aparecen a nivel superficial.

La teoría de modelos es una visión compleja, ptolomeica, superficial. Con MENTAL tenemos una visión copernicana, platonista, absolutista, profunda. Lo inconsistente es utilizar la teoría de modelos como una teoría del significado. El significado no se puede formalizar. Es inútil todo intento en este sentido. La teoría de modelos es solo un intento más.

Toda expresión formal tiene siempre una semántica asociada, aunque sea primaria. La semántica “sostiene” a la sintaxis, pues la sintaxis es una manifestación de la semántica. La sintaxis no es autosuficiente. En MENTAL, la teoría de modelos es la asignación de una semántica secundaria adicional a la semántica primaria.
Cardinalidad.
Skolem decía que había que revisar el concepto de cardinalidad. Se ha sugerido que es posible librarse o ignorar la noción de no numerabilidad.

La filosofía que sostenemos aquí es la siguiente:
- La cardinalidad de un conjunto es su número de elementos. Este número puede ser finito o infinito. Si es finito, la cardinalidad es cuantitativa. Si es infinito, la cardinalidad es cualitativa. Un conjunto infinito puede estar incluido en otro conjunto infinito. Por ejemplo, los números pares tienen la misma cardinalidad cualitativa que los números naturales, y los números pares están incluidos en os números naturales.
- El continuo está asociado a la conciencia sintética. Lo discreto está asociado a la conciencia analítica. Según el principio de causalidad descendente, lo discreto es una manifestación de lo continuo. Y lo finito es una manifestación de lo infinito. Por ejemplo, los números naturales son una manifestación de los números reales y los números reales son una manifestación del continuum.
- Los números transfinitos de Cantor no tienen sentido. Todos tienen la cualidad de ser infinitos y no puede establecerse relaciones cuantitativas. Esto justifica que en el TLS indirectamente se hagan equivalentes todos los cardinales transfinitos.
Teoría de instituciones.
La teoría de instituciones se apoya en la teoría de categorías, una rama de la matemática controvertida porque se la ha calificado de compleja, demasiado abstracta y sin sustancia conceptual. La teoría de instituciones es aún más compleja que la teoría de categorías. Es otro intento complejo e inútil de formalizar la semántica. La semántica solo se puede formalizar mediante arquetipos primarios.

La lógica de predicados de primer orden vs. MENTAL

La lógica de predicados de primer orden, también denominada simplemente “lógica de predicados” o “cálculo de predicados”, es la que contempla objetos con un número finito de predicados y sentencias con cuantificadores que alcanzan solo a variables de objeto. No hay variables de predicado.

La lógica de predicados de primer orden ha sido utilizada para formalizar la mayoría de las teorías matemáticas: teoría de conjuntos, teoría de números, teoría de grupos, etc.

En la lógica de predicados de primer orden hay dos tipos de fórmulas: las abiertas, que tienen variables libres (no afectadas por ningún cuantificador) y las cerradas, que tienen variables ligadas (las afectadas por algún cuantificador).

La lógica de predicados de primer orden, tal y como la conocemos hoy, tiene sus orígenes en Frege, en el siglo XIX, con su Conceptografía, donde presentó el primer sistema de lógica de predicados, aunque con una notación diferente de la actual.

La lógica de predicados de primer orden tiene dos teoremas metalógicos:

Teorema de completud de Gödel, ya mencionado anteriormente.
Teorema de indecidibilidad de Gödel. Un sistema es decidible cuando existe un método efectivo para decidir si una fórmula cualquiera del lenguaje es lógicamente válida o no. La lógica proposicional es decidible, pero la lógica de predicados de primer orden es indecidible.

Si comparamos MENTAL con el lenguaje de la lógica de predicados de primer orden, se ve que éste es un lenguaje limitado. Solo permite relaciones lógicas entre los objetos de un dominio. Pero hay más relaciones que las estrictamente lógicas. La lógica es solo una de las dimensiones de la realidad.

El TLS pone en evidencia la debilidad del propio lenguaje de primer orden. Si la teoría de modelos se formaliza usando MENTAL, con semántica completa, entonces todos los sistemas formales son categoriales y desaparece la paradoja de Skolem.

Adenda
Historia de la teoría de modelos

La teoría de modelos se remonta a Charles Sanders Peirce y Ernst Schröder. Pero el teorema de Löwenheim de 1915 se considera se considera el comienzo oficial de la teoría de modelos, pues nadie hasta ese momento se había planteado el tema de las diversas interpretaciones o modelos asociados a un sistema formal. La semántica empezó entonces a desempeñar un papel en la lógica.
Skolem completó y generalizó el teorema de Löwenheim en 1920, que a partir de entonces se denominó “teorema de Löwenheim-Skolem” (la versión descendente) que hacía referencia a cardinalidades transfinitas, en el que utilizó el axioma de elección para reducir el universo del discurso del modelo original a un conjunto numerable de elementos.

Dado que la demostración de este teorema dependía del polémico axioma de elección, en 1922 Skolem presentó un caso especial del teorema, sin hacer referencia a este axioma, y cercano en espíritu al teorema original de Löwenheim de 1915.
En 1930 apareció el teorema de completud de Gödel, que se considera un gran resultado de la teoría de modelos.
En 1935, Tarski demostró la forma ascendente del TLS. Tarski fue el gran impulsor de la teoría de modelos. Precisamente la denominación “teoría de modelos” la empleó Tarski por primera vez en 1954. A Tarski se le deben conceptos básicos de la teoría de modelos, como el concepto de verdad y la definición de teoría formal.

Los métodos semánticos de Tarski −desarrollados en los años 1950s y 1960s, junto a sus discípulos de la Universidad de Berkeley− transformaron radicalmente la metamatemática consolidándola como ciencia estricta.

La idea principal de Tarski consistió en reemplazar los símbolos de una cierta teoría por expresiones de otra teoría, de forma que los axiomas de la primera se convertían en teoremas de la otra, estableciéndose así una relación formal entre ambas teorías. La teoría de modelos de Tarski estudia las propiedades que se heredan de unas teorías a otras a lo largo de esas transformaciones, comparando los alcances de dichas teorías. Hoy día, la teoría de modelos se puede considerar el culmen de esta estrategia, que ha fortalecido las ideas y métodos del álgebra.
El análisis no estándar de Abraham Robinson (1974) se considera también una importante contribución a la teoría de modelos.
La “teoría de modelos abstractos” es una generalización de la teoría de modelos que surgió en los años 1970s. Estudia las propiedades formales de las extensiones de la lógica de primer orden y sus modelos. Se basa en el concepto de lógica abstracta, que es una abstracción del concepto de verdad: es una relación entre sentencias de una cierta clase y estructuras de otra cierta clase. El punto de partida del estudio de los modelos abstractos es el teorema de Lindström. En 1974, Jon Barwise axiomatizó la teoría de modelos abstractos.

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